Nació en Ahuachapán, en 1782, en momentos en que esta localidad y su actual departamento, junto con el de Sonsonate, pertenecían al territorio de la Capitanía General de Guatemala y no a la Intendencia de San Salvador.
Trasladado a la capital guatemalteca para que recibiera la mejor educación posible en su tiempo, en 1794 ingresó al Colegio Tridentino. El 16 de agosto de 1800 recibió el grado de bachiller en Medicina en la Real y Pontificia Universidad de San Carlos, de la que se licenció el 11 y 12 de agosto de 1802, tras disertar sobre las nuevas ideas para el tratamiento y evolución de las inflamaciones purulentas y gangrenosas.
De regreso en su tierra natal, contrajo matrimonio con la distinguida suchitotense Ana Andrade Cañas, hija de Manuela Alfaro y Bartolomé Cañas, rama paterna por la cual era prima del presbítero, doctor y prócer independentista José Simeón Cañas
Con ese vínculo terrenal y religioso, el licenciado Celis no solo se convirtió en padre de dos vástagos Santiago José (nacido el 24 de noviembre de 1806) y Leoncio Francisco (venido al mundo el 14 de enero de 1814)-, sino que también se granjeó una envidiable posición en los estratos sociales, políticos y económicos de esa sociedad salvadoreña de inicios del siglo XIX.
Dotado con un profundo sentimiento humanista, fue el primer médico que en tierra salvadoreña experimentó con el frágil suero de la vacuna, con el fin de contrarrestar los mortales efectos epidémicos de la viruela, peste que azotó la región en 1807 y que le permitió ocupar el cargo de vacunador oficial de la Intendencia de San Salvador.
Involucrado en la empresa criolla de la independencia, tuvo participación notable en la gesta sansalvadoreña del 5 de noviembre de 1811. Pero su más grande aporte a la causa libertaria centroamericana brindó en el movimiento revolucionario del 24 de enero de 1814. Dos días más tarde de la fracasada intentona emancipadora, fue capturado y encerrado en el Cuartel del Destacamento del Fijo, ubicado al sur de la ciudad de San Salvador
Durante los meses siguientes, fue vigilado, incomunicado y sometido a crueles torturas, con el fin de que revelara detalles y nombres de otras personas implicadas en los movimientos independentistas. Debido a esas brutalidades, llegó a verse en peligro su estabilidad mental y física, pero su boca se mantuvo en el más absoluto silencio, fiel a sus principios patrióticos y libertarios.
En la noche del sábado 16 de abril de 1814, fue encontrado desvanecido contra los barrotes de hierro de su celda, colgado del cuello por las puntas de su pañuelo de seda o corbatín. Como resultado de esa acción le sobrevino un desmayo. Para intentar reanimarlo, en la madrugada del domingo 17 sus carceleros y un practicante de medicina le ocasionaron un sangramiento excesivo de la vena yugular que, pese a las suturas realizadas, le produjo la muerte al primer mártir centroamericano en la lucha contra el despotismo español.
Al mediodía del lunes 18, su cadáver fue trasladado a su residencia, acompañado de un piquete de soldados, pues las autoridades sospechaban que su muerte podía ser un truco escapatorio. Ese mismo día, unos pocas amistades y familiares acompañaron su cuerpo hasta una fosa abierta en la nave de la antigua iglesia y convento de Santo Domingo (hoy Catedral de San Salvador).
Mientras el galeno estuvo en prisión, le fueron incautadas una porción corta de granos de cacao y su caballo. Luego de su muerte, su familia fue arrojada de sus propiedades confiscadas, entre las cuales se contaban los predios donde décadas más tarde fueron construidos la Casa Ambrogi y el Hotel Astoria, al sur del Palacio Nacional, en el centro de San Salvador.
El 8 de octubre de 1821, las autoridades salvadoreñas posindependentistas le negaron una pensión a su viuda Andrea, quien vivió sus últimos años en la pobreza, auxiliada por su hijo mayor Santiago José, quien se convirtió en sacerdote en 1837 y falleció en 1872.
De Florencio, el otro vástago del matrimonio Celis-Cañas, descendieron Herminia Celis Herrera, Mariana Celis de Montoya, Margarita Celis de Miranda y cinco hijos más.